The Ferret Touch

Ce weekend, j’ai eu un débat assez passionné avec un ami, le sujet était le déterminisme en physique (en fait ça partait de l’existence ou non du libre arbitre chez l’homme, lui soutenait qu’il n’existait pas à cause du déterminisme de notre cerveau). j’ai tenté de lui expliquer que le déterminisme au sens de Newton et Laplace était mort il y a un siècle, c’est une notion simple mais difficile à expliquer car le choix des mots est important. j’ai finalement fait l’effort de lui taper par email une explication après un moment de réflexion, je vais donc vous en faire partager… Une fois n’est pas coutume nous allons faire de la vulgarisation physique sur ce blog !

Je tiens en premier lieu à signaler que ça n’est pas le but du blog (a-t-il un but d’ailleurs ?), et donc ce billet n’est ni un cours ni un article complet sur le chaos. Pour une approche plus complète (toujours niveau vulgarisation) vous pouvez allez voir ce site dont la page est bien écrite.

Déjà précisons que le déterminisme au sens de Newton (mais qui en fait est un concept bien plus vieux) c’est une idée selon laquelle la connaissance de l’état d’un système à l’instant t permet de calculer son évolution à des temps arbitrairement lointains. En gros pour reprendre Laplace avec un certain anachronisme on pourrait penser si l’on croyait encore au déterminisme, que si nous possédions un ordinateur sur-puissant nous pourrions à l’aise calculer la trajectoire de la Terre autour du Soleil jusqu’à la fin des temps, ou encore qu’on pourrait prédire la météo du 28 janvier 2045 à 11H dans le 14e arrondissement de Paris.

Si cette pensée a été le pillier de la motivation scientifique depuis Newton disons, on s’apperçoit depuis un petit siècle environ qu’elle est dans certaines conditions complètement fausse. Dans certains cas le déterminisme meurt, il nous est impossible de calculer l’avenir d’un système plus longtemps qu’une certaine durée. Ce qu’il faut bien comprendre, et ce qui est souvent difficile à piger, c’est que cette limite n’est en aucun cas une limite technologique. C’est une limite intrinsèque au système étudié.

Imaginez un monde vide de tout. Il n’y a rien, aucune particule, aucune énergie, rien, après tout on a le droit d’imaginer ce qu’on veut… Ok maintenant dessinez un triangle équilatéral, et à chaque sommet fixez un aimant de même force. Enclenchez maintenant un champ de gravité perpendiculaire au plan défini par le triangle. Fixez maintenant par un moyen imaginaire (dont on se contre fout) un pendule en fer suspendu au dessus du centre du triangle. Au repos la position d’équilibre du pendule est celle où le fil est parallèle au champ de gravité, sa position est équidistante des trois aimants. Le monde ne contient rien d’autre que tout ça. Ecartez le pendule de sa position d’équilibre et notez sa position (x,y) dans le plan du triangle. Subissant la force de gravité le pendule entre en mouvement, mais contrairement à un pendule ordinaire (où seule la gravité agit) le pendule en fer subit l’attraction magnétique des aimants, sa trajectoire est compliquée et au final il va finir par s’approcher trop près d’un aimant et finir par pointer dans sa direction, de la même manière que le pendule de l’image pointe vers l’aimant bleu.

Ici le pendule fini a coté de l’aimant bleu, mettez un point bleu à l’endroit (x,y) où vous l’avez laché. Répétez l’expérience à des tas de positions initiales différentes, où vous marquerez un point de la couleur où termine la course de l’aimant. Au final, que voyez-vous ?

Première observation, je vois trois tâches uniformes, et des zones multicolores. Les zones uniformes sont superposées aux sommets du triangle. On comprend aisément qu’en lachant le pendule dans une de ses zones, il est tellement proche d’un des trois aimants que tout se passe comme s’il ne voyait que lui. Dans ces zones les deux autres aimants exercent une force minoritaire sur le pendule, on sent bien qu’il va rester dans le coin….

Allons plus loin, on vois également qu’il y a une zone bleue entre la rouge et la jaune, une jaune entre la bleue et la rouge et une rouge entre la bleue et la rouge. Ces zones correspondent à des régions où le pendule ressent initialement une attirance “similaire” des deux aimants proches, on sent bien que ni l’un ni l’autre ne l’emporte, la gravité est comme seule avec l’aimant d’en face, qui l’emporte…

Maintenant plus compliqué, sur l’extérieur de la figure, les couleurs semblent s’emméler de façon complètement désordonnées. La complexité de ces régions nous fait déjà comprendre qu’il serait à priori difficile de la colorier sans faire l’expérience au préalable, autrement dit, s’il est possible de prédire (de déterminer) l’aimant sur lequel le pendule va finir en fonction du point de départ, ça doit être relativement compliqué. Or il n’y a rien dans votre univers s’exerçant sur votre pendule à part la force de gravité et la force magnétique. A priori, ses points n’ont rien de particulier, et pourtant contrairement aux régions uniformes, l’emmèlement des couleurs nous dit qu’un petit décalage dans la position initiale du pendule change radicalement son évolution puisqu’il se retrouve carrément sur un aimant différent. Pour mettre des chiffres prenons un triangle de 40cm de coté. Dans les régions uniformes si vous changez la position initiale du pendule de 1cm, vous le retrouverez grosso-modo 1cm plus loin que si vous ne l’aviez pas changé. Dans les régions emmélées, 1cm d’écart au départ se résulte en un changement à l’arrivée d’une taille comparable à celle du triangle.

Et il y a plus fort ! Faites l’expérience du pendule un nombre infini de fois (disons pour un physicien que vous êtes, que l’infini est égal à un milliard, ça parait suffisant, à raison d’une expérience par seconde ça vous prendrait 31ans… essayez de simuler ça par ordi !). Une fois le milliard d’expériences finies, vous avez un milliard de points colorés sur votre surface. Zoomez dans les régions emmélées, zommez encore, encore et encore et encore… Vous verrez que peu importe le facteur de zoom, aussi grand soit-il, si vous pouviez zoomer à l’infini vous verriez toujours dans votre microscope “un point rouge, un point jaune et un point bleu”.

Mais qu’est-ce que cela veut dire ? Un point correspond à une condition initiale ok ? Vous avez énormément zoomé, ce qui signifie que la distance entre les points est trèèèès faible (pour pas dire quasi nulle) et pourtant ils ont une couleur différente, autrement dit chacun des trois laché de pendule a fini sur un aimant différent. Une condition initiale infiniment différente produit une trajectoire macroscopiquement différente.

Cette découverte sonne la fin du déterminisme. Pourquoi ? Imaginez qu’on vous donne une position (x=2.3467772828; y=1.2121332325) initiale, pouvez-vous me dire avec certitude la position finale du pendule ? La réponse est non… car malgré votre information très précise sur la condition initiale, vous n’avez que 10 chiffres après la virgule. Rappelez vous,  à l’échelle du 0.0000000001 il y a encore des points rouges bleus et jaunes, pour savoir il faudrait encore zoomer, rajouter des chiffres après la virgule, et ça à l’infini… ça n’est bien sûr pas possible !

j’espère qu’il apparaît comme clair que la limitation n’est pas un problème technologique. Aucune technologie ne pourra vous donner la position initiale de votre pendule avec une infinie précision (i.e. avec une erreur nulle).  Et la situation est même encore pire ! Supposez que vous arriviez à connaitre la position de votre pendule  à 1 milliards de chiffres après la virgule, il faut encore que votre appareil de mesure ne perturbe pas lui-même le pendule !

Résumons un peu. Vous comprenez qu’on ne peut connaitre la position du pendule qu’avec une précision finie, il subistera toujours une erreur. Sachant maintenant qu’une différence infime dans position initiale du pendule mène à un comportement radicalement différent, on voit tout de suite que cette incertitude initiale – aussi petite soit-elle- va se traduire en une incertitude macroscopique au bout d’un certain temps. Pour un système chaotique, l’incertitude du calcul croit exponentiellement avec le temps ! Naturellement plus vous êtes précis au départ, plus vous êtes précis longtemps, mais le temps arrivera inexorablement où l’incertitude sur votre prédiction sera aussi grosse que la prédiction elle-même, et là vous ne pourrez rien dire de plus intéressant que “ce trait mesure 10cm à 20cm près” ! Ce n’est plus du déterminisme, celui-ci à été brouillé par un horizon chaotique de prévisibilité !

Tous les systèmes physiques ne sont pas chaotiques, mais la plupart peuvent l’êtres ils contiennent une graine de chaos qu’on pourrait voir au sein même des équations mathématique qui les gouvernent, je n’en dirait pas beaucoup plus mais par exemple sachez que l’interaction de N particules entre elles dès que N>2 peut être chaotique et donc complètement imprévisible, cela ne signifie pas que leur mouvement est erratique  : voyez le système solaire, 9 planètes et des milliers de débris tournant autour du Soleil, chacune attirant les N-1 autres proportionnelement à sa masse… et pourtant tout ça est bien sage et stable. Vous pouvez calculer le mouvement des planètes pour un certain nombre d’années assez précisément, mais si vous vous gourez de 10m dans la position de la Terre au début de votre calcul, vous ne pourrez pas dire dans 1 milliard d’année si elle se trouve toujours en orbite à la même distance, où si elle a percuté Pluton ! Les deux résultats seront aussi dignes de confiance l’un que l’autre, autrement dit vous ne savez rien !

Le chaos, comprendre “l’horizon de prévisibilité” peut survenir plus ou moins rapidement, cela dépend en premier lieu de votre système d’étude, et secondo de la précision de votre condition initiale bien sûr. En météo il est difficile de connaitre avec une grande précision l’état de l’atmosphère en un temps donné, ci bien que l’incertitude sur l’extrapolation temporelle dépasse très vite la taille de la Terre, au bout de 5 jours vous ne pouvez plus dire si telle dépression va aller vers la France ou vers l’atlantique !

Voilà j’espère avoir été clair !